Category Archives: Statistics

Lotto Statistics, Part II: Errata: EZ2 Lotto at PowerLotto

Noong nakaraang linggo, inalam natin kung ano ang probability na manalo ng jackpot sa iba’t ibang klase ng lotto sa Pilipinas. Nakuha natin ang mga sumusunod na numero gamit ang iba’t ibang laws ng probability:

Lotto Probabilities

Lotto Probabilities

Tama naman ang mga analysis at math computations natin, kaso nga lang, nagkamali ako sa dalawa: ang EZ2 Lotto at PowerLotto. Ngayon, aalamin natin kung saan ako nagkamali (at siyempre, itatama natin ang mga maling iyon).

Paalala: Tama ang mga numero sa iba pang klase ng Lotto. Iyong sa EZ2 Lotto at PowerLotto lang ang mali. Pero bibisitahin din natin ang kaso ng Suertres Lotto, dahil dito ko unang ginamit (nang tama) ang konseptong ipapakita natin ngayon.

Ano ba ang mga hints ko kung bakit nasabi kong may mali sa analysis ko?

  1. Hindi ako kampante sa mga sagot ko.
  2. Mas maliit ang probability na manalo ka sa EZ2 lotto kaysa sa Suertres Lotto.
  3. Sobrang dami ng combinations ng PowerLotto.

Kaya ngayon, alamin na natin ang mga mali.

Mayroong konsepto sa Statistics na tinatawag na independence.

In probability theory, to say that two events are independent intuitively means that the occurrence of one event makes it neither more nor less probable that the other occurs.

Halimbawa, independent ang bawat coin toss sa isa’t isa, dahil hindi naman naaapektuhan ng nakaraang toss ang mga susunod. Ganoon din ang sa dice roll.

Kapag independent ang bawat events A at B, ang pag-compute ng probability na sabay silang mangyayari ay ibinibigay ng formula na ito:

Independence rule

Independence rule

Halimbawa, may dalawang dice. Assuming na walang daya yung bawat die, ang probability na makakuha ka ng numero sa isang die ay 1/6. Halimbawa, gusto mong ma-compute ang probability na makakuha ng 1 sa bawat die.

Die probabilities

Die probabilities

Ngayon, ikokonekta natin ang konseptiong iyan sa mga nabanggit na uri ng lotto.

  1. Suertres Lotto. Sa totoo lang, ginamitan ko ng independence rule ang pagkuha ng probability nito sa nauna ko nang paskil. Tulad ng nasabi ko na:

    Kung x = y = z = (0, 1, …, 9), mayroong n = |x|*|y|*|z| = 10*10*10 = 1000 na posibleng kombinasyon. Pero dahil indibidwal ang pagpili ng bawat numero, sa bawat numero, mayroon kang 1/10 chance na makuha ang isang numero. Kaya naman, ang probability na makuha mo ang isang tamang kombinasyon (gagamitan natin ngayon ng independence rule of probability) ay (1/10)*(1/10)*(1/10) = 1/1000. (Sabagay, obvious naman ito sa description ng Suertres Lotto; nililinaw ko lang kung paano nakuha iyon.)

  2. Muli, ayon sa PCSO,

    Using the EZ2 play slip, mark two (2) numbers from the two number (2) sets ranging from 1 to 31.

    Alam nating permutation lotto ang EZ2, dahil kailangan na exact order ang mga numero upang manalo ng jackpot. Ang bawat numero ay pipiliin mula sa 31 na numero. Assuming na fair ang laro, ang probability na makakuha ng isang numero ay 1/31. Gamit ang independence rule, ang probability na manalo ka sa laro na ito ng jackpot ay (1/31)(1/31) = 1/961.

  3. Para naman sa Powerlotto,

    The Powerlotto Game is a combination of Lotto and Digit games. The player selects five (5) numbers from a set of numbers ranging from 1 to 55 plus one (1) number from a set of power numbers ranging from 1 to 10.

    Dito natin ngayon mas maiintindihan kung bakit mali ang nauna kong analysis. Sabi sa taas, mamimili ka muna ng limang numero sa 55 na numero mula 1 hanggang 55. Dahil combination lotto ang PowerLotto, mayroon kang 55C5 = 3 478 761 na posibleng kombinasyon, at ang probability na makuha mo ang isa sa mga kombinasyong ito ay 1/3 478 761. Tapos, kailangan mong mamili ng isang numero mula 1 hanggang 10, at ang probability na makuha mo ang isa sa sampung numerong ito ay 1/10 (obviously). Para manalo ng jackpot, kailangang makuha mo ang limang numero nang tama, kasama ang isang dagdag na numero. Kaya naman, ang probability na manalo ka ng jackpot ay: (1/3 478 761)*(1/10) = 1/34 787 610.

Ngayong nakuha na natin ang tamang probabilities, i-update na natin ngayon ang ating talaan.

Lotto Probabilities, updated

Lotto Probabilities, updated

Inihiwalay ko na ang mga itinama nating probabilities para mas malinaw. Naka-dash na rin ang number required to win column para hindi nakakalito.

Dahil diyan, kailangan din nating i-update ang ating isa pang talaan:

Lotto costs, updated

Lotto costs, updated

Ayan, mas kapani-paniwala na ang resulta ng PowerLotto + 1 at EZ2 Lotto. Kahit papaano’y tumaas naman ang probability na manalo (at ang kailangang pera kung gusto mong tayaan lahat ng posibleng kombinasyon ng mga numero), ngunit mababa pa rin talaga.

Good luck na lang sa mga gustong manalo sa lotto.

Advertisements

1 Puna

Filed under Lotto, Statistics

Lotto Statistics, Part I

DISCLAIMER: Hinihikayat ko ang lahat, lalo na ang mga Stat majors, na i-verify ang lahat ng mga sasabihin ko rito, lalo na ang math. (Oo may math; hayaan mo, madali lang naman.) Higit sa lahat, made-depress ka sa paskil na ito. (Pero basahin mo pa rin, para informed ka.)

Bored ako, so magsa-Stat tayo. 🙂

Isa sa mga pinagkakaguluhan ng mga Pilipino, lalo na kung mataas ang jackpot, ay ang Lotto ng PCSO. Dala ang pangako ng panandaliang pagyaman, hinihikayat nila ang mga mahihirap na masang Pilipino na  pumili ng ilang numero at magbayad ng (sa ngayon) minimum na ₱10 kapalit ang ilang libo hanggaang ilang milyon na piso na maaaring mapanalunan sa loob lamang ng isang gabi.

Ang tanong ng marami: gaano ba ako ka-swerte pagdating sa laro na ito? O mas tumpak: gaano ba kalaki ang tsansang mananalo ako rito?

Ang mga tanong sa itaas ang balak kong sagutin ngayong gabi. Ngunit bago ang lahat, kailangan nating gumawa ng dalawang  napakahalagang assumptions:

  1. Fair ang laro. Statistics-wise, fair ang isang laro kung ito hindi ito biased. Halimbawa, sa konteksto ng dice roll, hindi loaded ang die; sa isang coin toss, hindi mas mabigat ang isang gilid kumpara sa kabila. Sa konteksto ng lotto, mukhang valid naman, dahil sinisigurado naman nila na pare-parehas ang timbang ng bawat bola. (Pero malay natin; ang alam lang natin ay kung ano ang pinapakita nila sa telebisyon.)
  2. Equally-likely ang outcome ng bawat kombinasyon. Pansining hindi ang bawat numero, kung hindi ang isang kombinasyon ng bawat numero.

Kung mapatunayan na hindi fair at hindi equally-likely ang bawat kombinasyon sa lotto, wala na; sabog na ang mga analyses na gagawin natin sa mga susunod na pangungusap.

Sa tinagal-tagal ng existence ng lotto sa buhay ng mga Pilipino, marami na ring nagbago: nagdagdag sila ng mga bagong laro, at in-upgrade naman ang mga luma na. Dahil dito, kailangan nating limitahan ang mga ia-analyze natin, dahil walang mangyayaring matino kapag isang bagsakan lahat (pansinin ang pamagat ng paskil na ito: Part I. So, may karugtong pa; huwag maging atat.):

  1. Hindi natin isasama ang mga susunod na features:
    • System play
    • Advanced play
    • Rambolito play
    • Power roll

    Sa makatuwid, yung pinakasimple munang scenario: mamimili ka ng mga numero, magbabayad, at (sa awa ng Diyos,) mananalo.

  2. Isang laro lang bawat ticket. Sa ngayon, wala muna iyong mga ticket na pang-multiple plays (pero sa totoo lang, wala naman talagang kaso iyon, pero ganoon na muna para mas madaling intindihin).
  3. Isang kombinasyon lamang ng mga numero kada ticket. Ito rin ang rason kung bakit walang advanced play, system play, 5-roll at power roll.
  4. Unique ang bawat kombinasyon kada ticket. Samakatuwid, bawal umulit ng kombinasyon.
  5. At ang pinakamahalagang restriction sa lahat: jackpot lang ang aanalisahin. Sa ibang salita, wala munang “paano kung three out of five numbers lang ang nakuha ko?” Sa ibang araw na iyon.

Ngayong naka-set na ang mga restrictions at assumptions natin, simulan na natin ang pag-aanalisa.

Ayon sa PCSO, mayroong siyam (9) na laro ang lotto, na maaari nating hatiin sa dalawang pangkat:

  1. Permutation lotto
    • 6-Digit Game
    • 4-Digit Game
    • Suertres Lotto
    • EZ2 Lotto
  2. Combination lotto
    • Grand Lotto 6/55
    • Power Lotto 5/55 +1
    • Super Lotto 6/49
    • Mega Lotto 6/45
    • Lotto 6/42

Mga paliwanag:

  1. Permutation lotto – mga uri ng lotto na kung saan kailangan mo ng exact order para mapanalunan ang jackpot.
  2. Combination lotto – mga uri ng lotto na hindi kinakailangan ng exact order para mapanalunan ang jackpot.

Ngayon, ang stat part.

Ayon sa classical rule of statistics, makukuha ang probability ng pangyayari ng isang bagay batay sa formula:

Classical Rule of Probability

Classical Rule of Probability

Halimbawa, sa die roll, may anim na numero sa isang die, kaya |S| = 6. Kaya ang probability na makakakuha ka ng 6 sa bawat roll ay 1/6, dahil isa lang naman ang ‘6’ at anim ang posibleng numero sa isang die. Siyempre kapag dinagdagan ang die, halimbawa gawin mong dalawa, iba na. (Para sa probability ng die rolls, may magandang website para rito.)

Ngayon, dahil sa alam naman natin na isa lang na kombinasyon ang makakapanalo ng jackpot, para sa ating problema, |E| = 1.

Ngayon, para sa |S|. Dito na papasok ngayon ang rason kung bakit natin hinati sa dalawang uri ang iba’t ibang klase ng lotto, at kung bakit iyon ang mga pangalan ng mga klasipikasyon nila.

Ayon sa combinatorics, combination ang tawag kung kukuha ka ng n elements from a m-element set, where order does not matter. Kung importante ang pagkakasunod-sunod ng mga bagay, permutation ang tawag roon. Samakatuwid, kung kukuha ka ng, halimbawa, anim (6) na numero mula sa set na 1 hanggang 50, at wala kang paki sa pagkakasunod-sunod nila, combination iyon; kung nakapila ka naman at iniisip kung ilan lahat ang posibleng configuration ng bawat tao sa pila (at siyempre, kada ayos ay mahalaga ang pagkakasunod-sunod), permutation problem iyon.

Ang formula ng combination (repetition not allowed) ay:

Combination Formula

Combination Formula

At ang sa permutation (repetition not allowed):

Permutation Formula

Permutation Formula

(Para sa mga interesado sa permutation vs combination: punta lang dito para sumaya ka.)

Kaya naman,

Probabilities

Probabilities

Mapapansin natin na given m and n, mas mataas ang value ng permutation kaysa sa combination. Dito pa lang, malalaman nating mas mahirap manalo sa permutation lotto kaysa sa combination lotto.

Sa kasalukuyan, na-establish na natin ang mga formula na gagamitin natin para malaman ang probability na mananalo tayo ayon sa kung anong klase ng lotto. Ngayon, alamin naman natin ang mga values na ipapalit sa n at m.

Ayon sa PCSO,

Lotto Types Mechanics

Lotto Types Mechanics

Napansin niyo siguro na walang Suertres Lotto, EZ2 Lotto at Power Lotto +1. Bago natin isali sa table na iyan ang mga nabanggit, kailangan muna nating alalahanin ang tinatawag na rule of product of combinatorics:

Suppose that a task involves a sequence of k choices.  Let number 1 be the number of ways the first stage or event can occur and number 2 be the number of ways the second stage or event can occur after the first stage has occurred.  Continuing in this way, let kth term be the number of ways the kth stage or event can occur after the first k – 1 stages or events have occurred.  Then the total number of different ways the task can occur is:

counting principle

Halimbawa, kung mayroon kang dalawang die, mayroon kang suma total na 6*6 = 12 na posibleng pares ng mga numero: (1,1), (1,2), (1,3), … (6,5), (6,6).

Ayon sa PCSO,

The Powerlotto Game is a combination of Lotto and Digit games. The player selects five (5) numbers from a set of numbers ranging from 1 to 55 plus one (1) number from a set of power numbers ranging from 1 to 10.

Kung x = (1, 2, …, 55), at y = (1, 2, …, 10), mayroon kang n = |x|*|y| = 55*10 = 510 na posibleng kombinasyon para sa Power Lotto + 1.

Para naman sa Suertres Lotto,

Using Suertres play slip, mark with a vertical line your chosen 3-number combination in range of 000 to 999 in the game panel.

Kung x = y = z = (0, 1, …, 9), mayroong n = |x|*|y|*|z| = 10*10*10 = 1000 na posibleng kombinasyon. Pero dahil indibidwal ang pagpili ng bawat numero, sa bawat numero, mayroon kang 1/10 chance na makuha ang isang numero. Kaya naman, ang probability na makuha mo ang isang tamang kombinasyon (gagamitan natin ngayon ng independence rule of probability) ay (1/10)*(1/10)*(1/10) = 1/1000. (Sabagay, obvious naman ito sa description ng Suertres Lotto; nililinaw ko lang kung paano nakuha iyon.)

Para naman sa EZ2 Lotto,

Using the EZ2 play slip, mark two (2) numbers from the two number (2) sets ranging from 1 to 31.

Tulad ng sa mga nakaraan, kung x = y = (1, 2, …, 31), mayroon kang n = |x|*|y| = 31*31 = 961 na posibleng mga kombinasyon.

Kapag isasaksak natin ito sa ating talaan kanina,

Complete Lotto Mechanics

Complete Lotto Mechanics

Sa ngayon, handa na tayong sagutin ang katanungan na ito: gaano ba kalaki ang tsansang mananalo ako rito?

Gamit ang aking scientific calculator, narito ang mga resulta:

Lotto Probabilities

Lotto Probabilities

Ang una nating mapapansin ay BAKIT SOBRANG LIIT NG PROBABILITIES?! Ganyan talaga. Kaya nga umaabot ng 200+ million ang premyo sa Grand Lotto. At least ngayon, alam mo na.

Isa sa mga medyo pang gago lang na resulta ay mas mataas ang probability na manalo ka sa Suertres kaysa sa EZ2. Kahit nga ako nagtaka. Pero tama naman yung math, kaya sa tingin ko baka talagang ganyan siya.

Isang magandang tanong: kung tatayaan ko ang lahat ng mga posibleng kombinasyon, magkano ang gagastusin ko? Sa tulong ng PCSO website at ng aking trusty old scientific calculator, narito ang mga resulta:

Lotto Cost for all outcomes

Lotto Cost for all outcomes

(Ang mga presyo ay kung kailan ito isinulat; siyempre puwede pang magbago iyan.)

Good luck naman sa pagbili ng lahat ng posibleng ticket ng Power Lotto + 1.

Bale ayan, isang guide sa pagpili ng kung saan pupusta. Sa mga umaasang mananalo sila sa larong ito (tutal may nananalo naman; matagal nga lang), good luck na lang sa inyo.

Siyanga pala: dahil mukhang fair naman ang laro, walang sense ang ginagawa ng iba na umaasa sa mga tinatawag nilang lucky numbers. Dahil sa fairness ng laro, ang kombinasyon na, halimbawa, 1-2-3-4-5-6 ay kasing-probable lang na lumabas ng iyong lucky numbers na, halimbawa, 3-6-12-41-25-49. Ang punto, walang kwenta ang lucky numbers kung hindi pampalubag-loob.

Para sa mga manlalaro, lalo na sa mga adik na rito, good luck na lang sa inyo. Happy playing!

UPDATE: May mali po sa computation ng probabilities ng EZ2 Lotto at PowerLotto. Narito po ang tama. Pasensya na po. Siyanga pala, iyon lang ang mali; tama pa rin iyong iba.

2 mga puna

Filed under Lotto, Statistics